مفهوم زیرمجموعه‌ها در ریاضیات

در آموزش ریاضی شناخت مجموعه‌ها و زیرمجموعه‌ها و کاربرد هر یک برای حل معادلات پیچیده از اهمیت بسیار برخوردار است. مجموعه‌ها در واقع گروهی از عناصر را در بر می‌گیرند که دارای خواص و ویژگی‌هایی مشابه می‌باشند. در صورتی که مجموعه‌ی B دربردارنده‌ی حداقل 2 عضو از اعضای مجموعه‌ی A باشد، مجموعه‌ی B زیرمجموعه‌ی A می‌باشد. برای مثال مجموعه‌ی A= {1,2,3 4} و مجموعه‌ی B= {2,3} را در نظر بگیرید؛ با توجه به این که تمامی اعضای مجموعه‌ی B در مجموعه‌ی A قرار دارند، در نتیجه مجموعه‌ی B زیرمجموعه‌ی A می‌باشد. تعریف مجموعه‌ها و زیرمجموعه‌ها، نحوه‌ی شناسایی زیرمجموعه‌ها، مثال‌ها و نمونه‌هایی از زیرمجموعه‌ها، شناخت مجموعه‌های تهی و بسیاری از مفاهیم مهم دیگر در رابطه با این دو مفهوم، از مهم‌ترین مباحث درس ریاضیات به شمار می‌روند. پیش از این که به نحوه‌ی تشخیص و نمایش زیرمجموعه‌ها بپردازیم، لازم است تا چیستی مجموعه‌ها را یکبار به طور دقیق تحت بررسی قرار دهیم.

مجموعه ها در ریاضی

مجموعه‌ها در ریاضی:

مجموعه گروهی از عناصر یا اجسام است؛ عناصر موجود در مجموعه‌ معمولا از یک نوع هستند، البته هیچ ضرورتی در برقراری این ویژگی وجود ندارد. با این حال هر یک از عناصری که در یک مجموعه قرار دارند، دارای خواص و ویژگی‌هایی متفاوت از سایر عناصر می‌باشند و لازم است که امکان تشخیص آن‌ها از سایر عناصر وجود داشته باشد. به عبارتی باید بتوان هر یک از عناصر را از عناصر دیگر تشخیص داد. برای نمایش مجموعه‌ها از نماد {} استفاده می‌شود. علاوه بر آن نامگذاری مجموعه‌ها با استفاده از حروف بزرگ انجام می‌شود. برای نوشتن اعضای یک مجموعه ترتیب خاصی وجود ندارد و می‌توان این عناصر را به هر ترتیبی یادداشت کرد.

 

 

زیرمجموعه‌ها در ریاضی:

مجموعه‌های A و B را در نظر داشته باشید، اعضای مجموعه‌ی A در B وجود دارند و مجموعه‌ی B دارای اعضای دیگری نیز می‌باشد؛ مجموعه‌ی A زیرمجموعه‌ای از B است. برای تشخیص زیرمجموعه‌ها، در ابتدا باید از این اصل مطلع باشید که در هر مجموعه، چند مجموعه‌ی دیگر نیز وجود دارد. به عبارت دیگر یک مجموعه می‌تواند عناصری از مجموعه‌های دیگر باشد. برای مثال مجموعه‌ی D= {{2},4,3,{12,11},{7}} را در نظر داشته باشید؛ سه عنصر این مجموعه خود مجموعه‌ای از یک یا دو عدد هستند. ما می‌توانیم این عناصر را به عنوان مجموعه‌های جداگانه در نظر داشته باشیم. سه عنصر دیگر این مجموعه نیز اعداد 2 و 3 و 4 هستند. عنصر 2 با عنصر {2} برابر نیست. چرا که 2 یک عدد و {2} یک مجموعه است. علاوه بر آن اعداد 11 و 12 به عنوان عناصر مجموعه‌ی D شناخته نمی‌شوند، اما مجموعه‌ی {12, 11} عنصری از مجموعه‌ی D می‌باشد. فهم تمایزی که بین عناصر مجموعه‌های ریاضی وجود دارد ساده است، اما بهتر است تا مفاهیم مرتبط با مجموعه‌ها به طور مرتب مرور شوند.

 

 

 

نمایش زیرمجموعه‌های یک مجموعه در ریاضیات

برای نشان دادن زیرمجموعه‌ی مجموعه‌ها در ریاضیات، از چند نماد مختلف استفاده می‌شود. نماد ⊂ یکی از علائمی است که با استفاده از آن می‌توان زیرمجموعه‌های یک مجموعه را نمایش داد؛ این نماد این مفهوم را نشان می‌دهد که یک مجموعه زیرمجموعه‌ای از دیگر مجموعه‌ها می‌باشد و همچنین به این معنی است که عضوی از یک مجموعه، در مجموعه‌ی دیگر نیز وجود دارد. یک سری قوانین در رابطه با زیرمجموعه‌ها وجود دارد که باید در نظر داشته باشید:

هر مجموعه‌ای، یک زیرمجموعه از خود می‌باشد. مجموعه‌ی A را در نظر داشته باشید؛ این اصل برای مجموعه‌ی A به این صورت نشان داده می‌شود A ⊂ A.

یک زیرمجموعه‌ی مشترک برای تمامی مجموعه‌های مور مطالعه در مباحث مختلف وجود دارد؛ این مجموعه، مجموعه‌ی تهی یا خالی می‌باشد. برای نشان دادن این که یک مجموعه همچون A زیرمجموعه‌ای از مجموعه‌ی B می‌باشد، از نماد ⊆ نیز استفاده می‌شود. به این صورت که A ⊆ B می‌باشد. می‌توان به این صورت گفت که B حاوی A است. برای مثال مجموعه‌های A= {2,4,6} و B= {6,4,2,8} را در نظر داشته باشید. در اینجا مجموعه‌ی A زیرمجموعه‌ای از مجموعه‌ی B می‌باشد؛ چرا که تمامی عناصر موجود در مجموعه‌ی A در مجموعه‌ی B نیز وجود دارد. B زیرمجموعه‌ی A نیست.

در صورتی که A ⊂ B و A = B باشد، آنگاه B ⊂ A است. به عبارت دیگر این دو مجموعه با یکدیگر مساوی و برابر هستند.

 

 

 

نکات مهم درباره‌ی مجموعه‌ها و زیرمجموعه‌های ریاضی

از مهم‌ترین مجموعه‌های مورد مطالعه در ریاضیات، می‌توان به مجموعه‌ی اعداد طبیعی، اعداد حقیقی، اعداد حسابی، اعداد صحیح و... اشاره کرد که مطالعات انجام شده روی مجموعه‌ها، حول محور این مجموعه‌ها انجام می‌شوند. هر یک از این مجموعه‌ها را می‌توان به عنوان زیرمجموعه‌ای از دیگری تعریف کرد. برای مثال مجموعه‌ی اعداد طبیعی یعنی N، زیرمجموعه‌ای از مجموعه‌ی اعداد صحیح یعنی Z می‌باشد و به این صورت می‌نویسیم که N ⊂ Z.

 دو مجموعه‌ی A و B را در نظر داشته باشید. مجموعه‌ی A = {2,4,6} و مجموعه‌ی B تشکیل شده از اعداد طبیعی کوچکتر از 8 می‌باشد.‌ به این ترتیب داریم A ⊂ B و B ⊂ A. از اینجا این نتیجه به دست می‌آید که A = B، یعنی این دو مجموعه برابر هستند. در مقابل دو مجموعه‌ی A = {1,2,3,4} و B = {4,5,6,7} را در نظر داشته باشید. با توجه به این که این دو مجموعه تنها یک عضو مشابه دارند، اینگونه می‌نویسیم که A ⊄ B و B ⊄ A.

مجموعه‌های ریاضی A و B را در نظر داشته باشید. در صورتی که مجموعه‌ی A زیرمجموعه‌ای از B باشد، آنگاه B ابرمجموعه‌ی A می‌باشد. به این ترتیب می‌نویسیم B ⊇ A. برای مثال مجموعه‌های A = {a,e,i,o,u و B = {a,b,c,……,z} را در نظر بگیرید؛ در اینجا A ⊆ B یعنی A زیرمجموعه B است، به این معنی که مجموعه‌ی B ابرمجموعه‌ی A می‌باشد.

مجموعه‌های ریاضی A و B را در نظر داشته باشید. در صورتی که مجموعه‌ی A زیرمجموعه‌ای از B باشد اما B زیرمجموعه‌ی A نباشد، A با B مساوی نیست و می‌نویسیم A ≠ B. برای مثال مجموعه‌های A = {1,2,3,4} و

B={1,2,3,4,5} را در نظر بگیرید؛ با تومه به این که عنصر 5 در مجموعه‌ی A وجود ندارد، اصل مورد نظر برقرار است و A ≠ B است.

مجموعه‌ای از تمام زیرمجموعه‌های یک مجموعه همچون A را مجموعه‌ی توان A نامیده و با نماد P(A) نشان می‌دهند.