نمودار ون روشی تصویری برای نمایش دادن روابط بین اشیاء و مجموعه‌ی عناصر مختلف بوده و یکی از کاربردی‌ترین نمودارهای مورد استفاده در آموزش ریاضی می‌باشد. در ریاضیات از طریق نمودار ون می‌توان رابطه‌ی منطقی بین مجموعه‌ها و عناصر آن‌ها را تجسم کرد. همچنین این نمودار کمک می‌کند تا مسائل و نمونه سوالات مختلف بر اساس مجموعه‌ها را خیلی راحت حل کنیم.

نمودار ون چیست؟

نمودار ون روش تصویری برای نمایش دادن روابط بین اشیاء و مجموعه‌ی عناصر مختلف بوده و یکی از کاربردی‌ترین نمودارهای مورد استفاده در آموزش ریاضی می‌باشد.

برای رسم نمودار ون، از حداقل دو دایره استفاده می‌شود، دایره‌هایی که هم‌پوشانی داشته باشند، دارای اشتراک هستند و دایره‌هایی که هم‌پوشانی ندارند، اشتراکی را بین مجموعه‌ها نشان نمی‌دهند.

نمودار ون به نمایش بصری تفاوت‌ها و شباهت‌هایی که بین دو چیز وجود دارد کمک می‌کند. این نمودارها به دلیل مزایا و کاربرد بسیاری که دارند، برای مدت‌های طولانی به عنوان ابزار آموزشی مباحث مختلف ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

از اواسط قرن بیستم، نمودارهای ون به عنوان بخشی از برنامه‌ی آموزشی سطح ابتدایی در سراسر جهان مورد استفاده قرار گرفت. یکی از دانشمندان انگلیسی به نام جان ون در دهه‌ی 1880 کاربرد اصلی نمودار ون را نشان داده و آن را به یکی از ابزار رایج برای بررسی تفاوت‌ها و شباهت‌ها تبدیل ساخت؛ او نام این نمودارها را به افتخار ریاضیدان سوئیسی که نمودارهای مشابهی را در دهه‌ی 1700 معرفی کرد، حلقه‌های اویلر نهاد.

در واقع تا سال 1918، برای معرفی این نمودارها از اصطلاح ون استفاده نشد. از نمودار ون به طور گسترده در علوم مختلفی همچون ریاضیات، منطق، تجارت، تدریس، علوم کامپیوتر و آمار استفاده می‌شود.

در ریاضیات از طریق نمودار ون می‌توان رابطه‌ی منطقی بین مجموعه‌ها و عناصر آن‌ها را تجسم کرد. همچنین این نمودار کمک می‌کند تا مسائل و نمونه سوالات مختلف بر اساس مجموعه‌ها را خیلی راحت حل کنیم.

در نمودار ون از دایره‌هایی متقاطع و غیر متقاطع استفاده می‌شود؛ در انواع خاصی از این نمودارها نیز، از مربع برای بررسی رابطه‌ی بین مجموعه‌ها استفاده می‌شود.

نمودار ون

نمودار ون در ریاضیات

برای بررسی تفاوت، اشتراک، شباهت و اجتماع و در نهایت برای بررسی وجود مجموعه‌ی متمم برای هر یک از مجموعه‌ها در ریاضیات، از نمودار ون استفاده می‌شود.

اجتماع مجموعه‌ها:

در صورتی که بین دو مجموعه‌ی ریاضی A و B دارای اتحاد باشند و یک عضو از مجموعه‌ی A در مجموعه‌ی B نیز وجود داشته باشد، در این صورت این دو مجموعه با یکدیگر متحد هستند و می‌توان با استفاده از نمودار ون اجتماع این دو را نشان داد. در واقع نمایش اجتماع دو مجموعه با استفاده از نمودار ون به این صورت است که دو دایره را در کنار هم قرار داده و آن‌ها را به طور کامل رنگ آمیزی می‌کنید. مجموع نواحی هر دو دایره‌ی بکار رفته برای نمایش مجموعه‌های A و B، اجتماع این دو مجموعه را نشان می دهد.

اشتراک مجموعه‌ها:

اگر دو مجموعه‌ی ریاضی A و B حداقل یک عضو مشترک داشته باشند، در این صورت گفته می‌شود که این دو مجموعه دارای اشتراک هستند. برای نشان دادن اشتراک بین دو مجموعه‌ی A و B به وسیله‌ی نمودار ون ، از دو دایره‌ی متقاطع استفاده می‌شود. ناحیه‌ی مشترک بین دو مجموعه‌ی A و B، نشان دهنده‌ی اشتراک بین این دو مجموعه می‌باشد.

مجموعه‌ی متمم:

مجموعه‌ی A را به عنوان یک مجموعه‌ی ریاضی در نظر بگیرید. متمم این مجموعه نشان دهنده‌ی مجموعه‌ای از عناصری است که در مجموعه‌ی A وجود ندارند. مجموعه‌ی متمم A را با استفاده از نماد A' نمایش می‌دهیم. برای نمایش این مجموعه به وسیله‌ی نمودار ون، از دو دایره استفاده می‌شود و ناحیه‌ی خارج مجموعه‌ی A به عنوان مجموعه‌ی متمم تحت پوشش قرار می‌گیرد.

تفاوت بین مجموعه‌ها:

برای بررسی و نمایش تفاوتی که بین مجموعه‌های ریاضی وجود دارد نیز می‌توان از نمودار ون استفاده کرد. تفاوت بین دو مجموعه‌ی A و B به صورت A - B نمایش داده می‌شود. از این تفاوت به صورت مکمل نسبی نیز یاد می‌شود. برای نمایش تفاوت دو مجموعه به وسیله‌ی نمودار ون، از دو دایره استفاده می‌شود و کلیه‌ی ناحیه‌ی مجموعه‌ی A به استثنای ناحیه‌ای که با مجموعه‌ی B مشترک می‌باشد، تحت پوشش قرار می‌گیرد.

نمایش چند مجموعه با استفاده از نمودار ون:

برای نمایش ویژگی‌های سه مجموعه‌ی ریاضی با استفاده از نمودار ون، باید از سه دایره استفاده شود. این سه دایره که دارای ویژگی همپوشانی می‌باشند، ارتباط بین عناصر سه مجموعه را نشان می‌دهند. هنگامی که تمامی دایره‌ها با یکدیگر همپوشانی داشته باشند، قسمت‌هایی که با یکدیگر هم پوشانی دارند دربردارنده‌ی عناصری هستند که در هر دو یا سه مجموعه وجود دارند.

کاربرد نمودار ون در ریاضیات

روش رسم نمودار ون

برای رسم نمودار ون جهت نمایش رابطه‌ی بین مجموعه‌ها در ریاضیات می‌توان از تعداد نامحدودی دایره استفاده کرد. از آنجایی که بکارگیری بیش از سه دایره می‌تواند مفاهیم و نتایج به دست آمده را بسیار پیچیده سازد، در هنگام استفاده از نمودار ون حداقل از دو یا سه دایره استفاده می‌شود. مراحل رسم نمودار ون بسیار آسان هستند. هر یک از این مراحل را به شکل خلاصه در ادامه‌ی متن توضیح داده‌ایم:

  1. تمامی عناصر هر یک از مجموعه‌ها را به طور مجزا دسته بندی کنید.
  2. یک مستطیل رسم کرده و با توجه به تشابه و همبستگی که بین مجموعه‌ها وجود دارد نماد گذاری کنید.
  3. برای هر تعداد مجموعه‌ای که دارید یک دایره رسم کنید.
  4. عناصر هر مجموعه را در دایره‌ی مربوط به آن قرار دهید.

روش رسم نمودار ون

کاربردهای نمودار ون

استفاده از نمودار ون در علم ریاضی یا سایر رشته‌های علمی دیگر با مزایا و فواید بسیاری همراه است که لازم است به آن‌ها اشاره کنیم. همانطور که پیش‌تر گفتیم، نمودار ون در آمار، زبان شناسی، منطق و... کاربرد بسیار مهمی دارد. با استفاده از نمودار ون می‌توانیم اطلاعات را به شکل بصری سازماندهی کرده و رابطه‌ی بین مجموعه‌ای از آیتم‌های مختلف را تشخیص دهیم و در واقع این روابط بصری را به تصویر بکشیم. همچنین می‌توان دو یا چند مجموعه را با یکدیگر مقایسه کرده و اشتراک یا تفاوتی که بین آن‌ها وجود دارد را تشخیص دهیم. ریاضیدانان از نمودار ون برای حل معادلات پیچیده استفاده می‌‌کنند. ما می‌توانیم از نمودار ون برای مقایسه‌ی مجموعه‌ای از داده‌ها و یافتن همبستگی آن‌ها استفاده کنیم. نمودار ون کاربردی بسیار مهم برای استدلال و فهمیدن معادلات با تکیه بر منطق دارد. برای استفاده از نمودار ون جهت بررسی ویژگی‌های مجموعه‌‌ها، لازم است چند نکته را به خاطر داشته باشید:

  • هر مجموعه‌ای به عنوان یک زیرمجموعه از خودش در نظر گرفته می‌شود.
  • یک مجموعه‌ی جهانی، همه‌ی مجموعه‌های مورد بررسی را در خود جای می‌دهد.
  • در صورتی که مجموعه‌ی A زیرمجموعه‌ای از B بوده و این دو مجموعه با هم مساوی باشند، در این صورت مجموعه‌ی B نیز زیرمجموعه‌ای از A است.
  • متمم مجموعه‌ی متمم A یعنی '('A)، برابر با مجموعه‌ی A است.