یکی از مباحث بسیار مهم در آموزش ریاضی که در واقع از مباحث پایه‌ی این علم می‌باشد مربوط به مجموعه‌ها و کاربرد هر یک از آن‌ها می‌باشد. در تعریف ساده‌ی مجموعه‌های ریاضی باید گفت که هر مجموعه به عنوان گروهی شناخته می‌شود که از گردهمایی اشیاء متمایز به وجود آمده است.

تعریف مجموعه‌های کاربردی در آموزش ریاضی

یکی از مباحث بسیار مهم در آموزش ریاضی که در واقع از مباحث پایه‌ی این علم می‌باشد مربوط به مجموعه‌ها و کاربرد هر یک از آن‌ها می‌باشد. در تعریف ساده‌ی مجموعه‌های ریاضی باید گفت که هر مجموعه به عنوان گروهی شناخته می‌شود که از گردهمایی اشیاء متمایز به وجود آمده است.

یک مجموعه می‌تواند هر گروهی از آیتم‌های مختلف را شامل شود؛ در علم ریاضی با مجموعه‌های مختلفی از اعداد سر و نار داریم. از انواع مجموعه‌هایی که در این شاخه‌ی علمی به کار می‌روند، می‌توان به مجموعه‌ی اعداد حقیقی، طبیعی، حسابی و... اشاره کرد.

هر آیتمی که در یک مجموعه قرار می‌گیرد، به عنوان عنصری از مجموعه‌ی مورد نظر شناخته می‌شود. برای مثال {A= {1,2,3,4,5 یک مجموعه است. برای نمایش دادن عناصری که در هر مجموعه قرار می‌گیرند، از نمادهای مختلفی استفاده می‌شود.

در واقع تعریف در نظر گرفته شده برای مجموعه‌ها در علم ریاضیات به این صورت است که در یک مجموعه، عناصری قرار می‌گیرند که به شکلی کاملا دقیق تعریف شده‌اند. برای نمایش مجموعه‌ها از حروف بزرگ استفاده می‌شود. برای مثال مجموعه‌ی اعداد طبیعی که تمامی اعداد بزرگ‌تر از صفر را دربر می‌گیرد، با استفاده از حرف N نمایش داده می‌شود.

در کنار آن برای نمایش دادن هر یک از مجموعه‌های دیگر نیز از حروف بزرگ استفاده می‌شود. عناصری که در هر یک از مجموعه‌ها قرار می‌گیرند، با استفاده از علامت کاما از یکدیگر جدا می‌شوند. همچنین برای نشان دادن قرارگیری یک عنصر در یک مجموعه، از نماد ϵ استفاده می‌شود. برای مثال عضویت عدد 2 در مجموعه A را به صورت ϵ A 2 نشان می‌دهیم.

تعریف مجموعه‌های کاربردی در آموزش ریاضی

خصوصیات مجموعه‌های ریاضی

برای آشنایی دقیق‌تر با کاربرد هر یک از مجموعه‌ها در علم ریاضیات، لازم است تا با خصوصیات و ویژگی‌های هر یک آشنایی داشته باشید. ترتیب یا شماره‌ی یک مجموعه نشان دهنده‌ی کلی اعضای قرار گرفته در مجموعه‌ی مورد نظر می‌باشد.

برای مثال ترتیب مجموعه‌ی اعداد طبیعی کمتر از ده را به صورت n(A) = 4 نمایش داده می‌شود. در تعریف دیگر مجموعه‌ها در علم ریاضیات، از آن‌ها به عنوان گروهی از اعداد منحصر به فرد یاد می‌شود.

یکی از شرایط اصلی برای تشکیل هر مجموعه این است که همه‌ی عناصر آن با یکدیگر مرتبط باشند و ویژگی‌هایی یکسان داشته باشند. به عنوان مثال اگر عناصر یک مجموعه از نام ماه‌های سال تشکیل شده باشند، می‌توان گفت که مجموعه‌ی مورد نظر مجموعه‌ای از ماه‌های سال می‌باشد.

پیش‌تر نیز اشاره کردیم که برای نمایش دادن مجموعه‌ها از نمادهای مختلفی استفاده می‌شود. نماد معنایی برای توصیف مجموعه استفاده شده و مشخص می‌کند که مجموعه چه اعضایی را دربر می‌گیرد.

از نماد فهرستی برای نشان دادن هر یک از اعضای مجموعه استفاده می‌شود که در آن هر عنصر در یک براکت جداگانه قرار گرفته و به وسیله‌ی کاما از سایر عناصر جدا می‌شود؛ برای استفاده از نماد فهرستی، نیازی نیست که حتما ترتیب رعایت شود.

همچنین برای توصیف ویژگی‌های هر یک از عضوهای یک مجموعه نیز از نمادی مجزا استفاده می‌شود. استفاده از این نمادها سبب می‌شود تا کار با مجموعه‌ها در مطالعه‌ی مفاهیم و مباحث مختلف علم ریاضیات راحت‌تر شود و مطالب برای افراد به شکل دقیق‌تری جا بیفتند.

خصوصیات مجموعه‌های ریاضی

معرفی نمودار ون، روشی برای نمایش مجموعه‌ها

برای نشان دادن مجموعه‌های ریاضی، از روش‌های مختلفی استفاده می‌شود. یکی از روش‌های اصلی برای نمایش مجموعه‌ها، استفاده از نمودار ون می‌باشد؛ در واقع اگر بخواهیم مجموعه‌ها را به شکل تصویری نمایش دهیم، باید از نمودار ون استفاده کنیم. نمایش تصویری هر مجموعه با استفاده از نمودار ون به شکل دایره‌ای انجام می‌شود و عناصر هر یک از مجموعه‌های ریاضی داخل یک دایره قرار می‌گیرند. نمودار ون ارتباطی که بین مجموعه‌های مختلف وجود دارد را نیز نمایش می‌دهد

معرفی نمودار ون، روشی برای نمایش مجموعه‌ها

معرفی انواع مختلف مجموعه‌ها

مجموعه‌های ریاضی انواع مختلفی دارند و در دسته‌های متناهی، نامتناهی، تهی، تک عضوی و... قرار می‌گیرند. در ادامه به معرفی انواع مجموعه‌های ریاضی و بررسی ویژگی‌های هر یک از آن‌ها می‌پردازیم:

مجموعه‌های تک عنصری:

این نوع مجموعه‌ها همانطور که از نام آن‌ها مشخص است تنها یک عنصر دارند. به عنوان مثال مجموعه‌ی اعداد صحیح بین 3 و 4 یک مجموعه‌ی تک عنصری بوده و به صورت A = {4} نشان داده می‌شود.

مجموعه‌های متناهی:

دسته‌ی دیگر از مجموعه‌های ریاضی مجموعه‌های متناهی هستند که تعداد عناصر آن‌ها محدود و قابل شمارش است. به عنوان مثال مجموعه‌ی اعداد اول کوچک‌تر از 20 یک مجموعه‌ی متناهی است که به صورت B = {2,3,5,7,11,13,17,19} نمایش داده می‌شود.

مجموعه‌های نامتناهی:

این نوع از مجموعه‌های ریاضی ویژگی‌هایی عکس مجموعه‌های متناهی داشته و دارای عناصری نامحدود می‌باشند. برای مثال مجموعه‌ی اعداد حقیقی یک مجموعه‌ی نامتناهی می‌باشد.

مجموعه‌ی تهی:

یکی دیگر از مجموعه‌های ریاضی که بسیار کوچک بوده و در عین حال از مجموعه‌های بسیار مهم و کاربردی می‌باشد، مجموعه‌ی تهی یا پوچ است که هیچ عنصری ندارد. برای مثال مجموعه‌ی X={} یک مجموعه‌ی تهی می‌باشد.

مجموعه‌های مساوی:

در صورتی که اعضای دو مجموعه‌ی ریاضی یکسان بوده و با یکدیگر مساوی باشند، این مجموعه‌ها مساوی هستند. برای مثال مجموعه‌ی A={1,2,3} و B={1,2,3} دو مجموعه‌ی مساوی با اعضای یکسان می‌باشند. این تساوی را می‌توان به صورت A=B نمایش داد.

مجموعه‌های نامساوی:

مجموعه‌های نامساوی درست برعکس مجموعه‌های مساوی می‌باشند. در صورتی که دو مجموعه حداقل یک عضو متفاوت داشته باشند، در این صورت این مجموعه‌ها نامساوی هستند. برای مثال مجموعه‌ی A={1,2,3} و B={4,5,6} دو مجموعه‌ی نامساوی با اعضای متفاوت می‌باشند. این نابرابری را می‌توان به صورت A≠B نمایش داد.

مجموعه‌های معادل:

در صورتی که دو مجموعه در ریاضی تعداد عناصر یکسانی داشته باشند، به عنوان مجموعه‌های معادل شناخته می‌شوند. لازم به ذکر است که عناصر این مجموعه‌ها می‌توانند متفاوت باشند. برای مثال مجموعه‌های A={1,2,3} و B={a,b,c} دو مجموعه‌ی معادل هستند. رابطه‌ی بین این دو مجموعه را می‌توان به صورت n(B) = n(A) نمایش داد.

مجموعه‌های مجزا:

در صورتی که دو مجموعه‌ی هیچ عنصری مشترکی نداشته باشند، آن‌گاه این دو مجموعه به عنوان مجموعه‌های مجزا شناخته می‌شوند. برای مثال مجموعه‌های A={1,2,3} و B={4,5,6} دو مجموعه‌ی مجزا می‌باشند که هیچ عنصر یکسانی ندارند.

زیرمجموعه و ابر مجموعه:

در صورتی برای دو مجموعه‌ی A و B، عنصرمجموعه‌ی A و در مجموعه‌ی B نیز وجود داشته باشد، در این صورت A زیرمجموعه‌ی B بوده و B ابرمجموعه A می‌باشد.